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[問] √(2x+5)＞x+1…(*)を解け。
[解] 先ず2x+5≧0でなければならない。
[i] 2x+5=0の時,
x=-5/2でこれは(*)を満たす。
[ii] 2x+5＞0(x＞-5/2…①)の時
(i) √(2x+5)＞x+1＞-√(2x+5)の時,
2x+5＞(x+1)^2
x^2-4＜0
-2＜x＜2…②。
①,②より-2＜x＜2。
(ii) -√(2x+5)＞x+1の時,
2x+5＜(x+1)^2
x^2-4＞0
x＜-2,2＜x…③。
①,③より-5/2＜x＜-2,x＜2。
(i),(ii)より-5/2＜x＜-2,-2＜x＜2,x＜2。
[i],[ii]より,
-5/2≦x＜-2,-2＜x＜2,x＜2。 (終)
と解きました。
でもグラフで考えると,-5/2≦xとなりますよね。
私の解き方はどこが不味かったのでしょうか?
.. 2/10(Thu) 10:03[16514] |
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++ かーと
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こんにちは。
まず 2x+5≧0 を満たす必要があるので、
x≧-5/2 ・・・[1] となります。
また、左辺が値を持つとき必ず0以上になるので、
x+1＜0 → x＜-1 ・・・[2] のときは自動的に条件は満たされます。
[1],[2]を満たしているとき、
2x+5＞(x+1)^2
2x+5＞x^2+2x+1
x^2-4＜0
(x-2)(x+2)＞0
-2＜x＜2 ・・・[3]
[1] を満たしたうえで、
[2] か [3] を満たせばいいので、
-5/2≦x＜2 となります。
.. 2/10(Thu) 12:09[16515]
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++ ありあ （高校3年／大学受験生）
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＞ [1],[2]を満たしているとき、
＞ 2x+5＞(x+1)^2
x=-2は[1],[2]を満たしていますが
2x+5＞(x+1)^2を満たしていないと思うのですが、、
いかがでしょうか?
.. 2/11(Fri) 23:05[16518]
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++ かーと
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ごめんなさい、書き間違いです。
× [1],[2]を満たしているとき
○ [1]を満たし、[2]を満たしていないとき
です。
.. 2/12(Sat) 04:18[16519]
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++ ありあ （高校3年／大学受験生）
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＞ ○ [1]を満たし、[2]を満たしていないとき
つまり,-1≦xの時という事ですよね?
x=2は-1≦xを満たしますが
2x+5＞(x+1)^2
を満たしてないと思うのですが、、
いかがでしょうか?
.. 2/12(Sat) 10:59[16520]
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++ かーと
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こんばんは。
少しわかりやすくまとめると、
[1] を満たす→前提条件
[1] を満たし、[2] を満たす
右辺が負になるので、不等式は成立
[1] を満たし、[3] を満たす
[3] によって不等式を満たすので、不等式は成立
という話です。
x=2 はそもそも [3] を満たしません。
.. 2/12(Sat) 12:44[16521]
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++ ありあ （高校3年／大学受験生）
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お手数お掛けしております。
＞ [1]を満たし、[2]を満たしていないとき
のくだりは書き下すと
[1]を満たし、[2]を満たしていないとき (つまり,-1≦xの時)
2x+5＞(x+1)^2が言える(つまり両辺を平方しても不等号はそのまま)から
これを解いて-2＜x＜2となる。
という意味ですよね?
しかし,そもそも
[1]を満たし、[2]を満たしていないとき
2x+5＞(x+1)^2
とは必ずしも書けないのではないですか(例 x=2(≧-1)の時)?
と申しておるのです。
.. 2/13(Sun) 00:32[16522]
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++ かーと
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こんばんは。
[2]を満たすものはこの時点で不等式成立が確率するが、
そうでないものは不等式成立範囲が不明なので、
2x+5＞(x+1)^2
を解いて成立範囲を求めればいいということす。
そもそも[2]を満たすときは、右辺がマイナスなので、
[2]を満たすときまで両辺を2乗すると混乱を招くためです。
.. 2/13(Sun) 05:00[16523]
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++ ありあ （高校3年／大学受験生）
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分かって来ました。どうも有難うございます。
√(2x+5)＞x+1…(*)
(i) 2x+5≧0且つx+1＜0の時,-5/2≦x＜-1…(ア)。
(ii) √(2x+5)＞|x+1|…(**)の時,(√(2x+5))^2＞(x+1)^2が成り立つ
① x+1≧0(x≧-1…(***))の時,(**)は√(2x+5)＞x+1で(√(2x+5))^2＞(x+1)^2。
よって-2＜x＜2で(***)から
-1≦x＜2…(イ)。
② x+1＜0(x＜-1…(****))の時,(**)は√(2x+5)＞-(x+1)でこの解の範囲は(*)のそれと異なるものなるので不適。
(iii) √(2x+5)＜|x+1|…(**)の時,(√(2x+5))^2＜(x+1)^2が成り立つ
① x+1≧0(x≧-1)の時,(**)は√(2x+5)＜x+1でこの解の範囲も(*)のそれと異なるものなるので不適。
② x+1＜0(x＜-1)の時,(**)は√(2x+5)＜-(x+1)でこの解の範囲も(*)のそれと異なるものなるので不適。
以上から(ア),(イ)より,求める範囲は[-5/2,-1)∪[-1.2)=[-5/2,2),即ち,-5/2≦x＜2。 (終)
でいいのですね。
.. 2/15(Tue) 07:49[16525]
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++ かーと
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こんにちは。
|x+1| みたいに絶対値を用いる必要はないのですよ。
左辺は絶対に0以上なのですから、
(1) x+1＜0 のとき → 確実に成立
(2) x+1≧0 のとき → 両辺を2乗して考える
という場合分けをすればいいだけです。
そこをシンプルに考えられるかどうかですよ。
.. 2/15(Tue) 08:21[16526]
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