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■--通過範囲
++ ruri (高校3年/大学受験生)          

xy平面上の2点P、Qに対し、PとQをx軸またはy軸に平行な線分からなる折れ線で結ぶときの経路の長さの最小値をd(P,Q)で表す。
実数a≧0に対し、点Q(a,a^2+1)を考える。
次の条件(※)を満足する点P(x,y)の範囲をxy平面上に図示せよ。
(※)原点O(0,0)に対し、d(O,P)=d(P,Q)となるようなa≧0が存在する。

x≦0のときはy=(a^2+a+1)/2
0≦x≦aのときはx+y=(a^2+a+1)/2
a≦xのときはy=(a^2-a+1)/2
求める点Pの存在範囲は、aがa≧0の範囲を変化するときこの折れ線が通過する範囲だと思います。

ここから先が分かりません。よろしくお願いします。
..11/ 5(Mon) 20:04[15617]

++ かーと    
こんばんは。

こちらに解答・解説があるので、まずはそれを参考にしてください。

..11/ 6(Tue) 22:12[15618]
++ ruri (高校3年/大学受験生)    
御回答ありがとうございます。

x≦0のとき、y=(a^2+a+1)/2
0≦x≦aのとき、x+y=(a^2+a+1)/2
a≦xのとき、y=(a^2-a+1)/2

まではわかります。aが変化すると、y=(a^2+a+1)/2は1/2以上の任意の値を取ることもわかりました。

x+y=(a^2+a+1)/2と、y=(a^2-a+1)/2が変化した時がよくわかりませんでした。ここの部分を詳しく教えてください。よろしくお願いします。


..11/17(Sat) 02:02[15639]
++ かーと    
こんにちは。

x>0 のとき、x がある段階よりも大きくなれば
x≧a のときの式を平方完成したものから、
y≧3/8 の範囲全体の値を取れることはわかります。

問題は 0<x<a のときで、これを a に着目して考えると、
a はいくらでも大きくするのが可能なので、
ある値より上の範囲を全て取れるというのはわかります。

逆に a はどこまで小さくできるかというと、
0<x<a であることから a=x までしか小さくできません。

すなわち x+y=(1/2)(a^2+a+1) で a=x とした、
x+y=(1/2)(x^2+x+1) → y=(1/2)(x^2-x+1) が
0<x<a における y の取れる最小値となります。

したがって、これが 0<x<a の範囲の最小値の軌跡となり、
この放物線よりも上の範囲を取れるということになります。

そして 0<x<a と x≧a の切り替わりが起きるのが、
ちょうど放物線が極小となる x=1/2 のときとなります。

..11/17(Sat) 14:04[15640]
■--(無題)
++ ハラ           

お世話になってます

常用対数のことなんですが、たとえば3^20だったら計算して10^9<3^20<10^10 から3^20は10桁の数だとわかるのですが、その逆方向はできないのでしょうか
3^20が10桁の数だから10^9<3^20<10^10 である、とは言えないのですか?不等号に=をどの場合につければいいのかいつも混乱してしまいます
変な質問になってしまってすいません🙇
..11/11(Sun) 10:14[15626]

++ かーと    
こんにちは。

もちろんそのようにすることもできますよ。

たとえば a は 8桁の数だと言われたら、
10^7 が 8桁の数のうちで最も小さく、
10^8 が 9桁の数のうちで最も小さいので、
10^7≦a<10^8 と表すことができます。

..11/11(Sun) 12:04[15627]
++ ハラ    
なるほど!
質問文にもありますが、3^20が何桁の数か、という問題で
9<log10 30^20<10^10 とあってなぜこの時だけは絶対値に=が付いていたのか分からなくなって混乱してしまいました💦

..11/12(Mon) 18:00[15634]
++ かーと    
こんばんは。

9=log[10]3^20 ではないことが明らかだから、
= については外してある、ということでしょうね。

..11/12(Mon) 21:09[15635]
++ ハラ    
言われてみれば当たり前のことでしたね笑笑
やっと理解出来ました!ありがとうございました🙇🙇

..11/15(Thu) 17:16[15638]
■--二次関数
++ ゆい (高校1年)          

二次関数f(x)=ax²-4ax+1がある。ただし、aは正の定数とする。
(1)a=1のとき不等式f(x)≧0を解け。
(2)y=f(x)のグラフがx軸と接するときのaの値とそのときの接点の座標を求めよ。
(3)f(x)の最小値をaを用いて表せ。
(4)pを0<p<2を満たす定数とする。p≦x≦2p+1におけるf(x)の最小値をm、最大値をMとする。
@y=f(x)のグラフの軸がp≦x≦2p+1に含まれるときのpの範囲を求めよ。
Ap≦x≦2p+1におけるy=f(x)の最小値をa、pを用いて表せ。
Bf(x)の最大値Mがx=p、2p+1のときであるとき、pの値を求めよ。
CMをaとpを用いて表せ。
(5)p≦x≦2p+1(0<p<2)におけるf(x)の最小値m、最大値をMとおく。M-m=2aとなるようなpの値を求めよ。
毎回、問題たくさんですみません(汗)お願いします🙏
..11/14(Wed) 19:34[15637]

■--数学 並べ方
++ ゆい (高校1年)          

文字A、B、Cがそれぞれ3つずつ、合計9個ある。これらを四角の9つに仕切りでわけられている(縦横3✕3の正方形)箱の中に、それぞれ1つずつ入れる。縦、横、斜めのいずれかの一直線上に同じ文字が3個並んだとき、その文字が「一列に並ぶ」ということにする。
(1)3文字A、B、Cとも横に「一列に並ぶ」ような入れ方は全部で何通りあるか。
(2)3文字A、B、Cとも「一列に並ぶ」ような入れ方は全部で何通りあるか。
(3)どれか一つの文字が斜めに「一列に並ぶ」ような入れ方は全部で何通りあるか。
(4)どれか一つの文字だけが「一列に並ぶ」ような入れ方は全部で何通りあるか。
問題が多いですが、提出しないといけないのでお願いします!
..11/12(Mon) 13:39[15632]

++ かーと    
こんにちは。

簡単に計算しただけなので間違えているところがあるかもしれません。
問題が多いので簡潔に答えていますがご容赦ください。

(1)
ABC 3文字を1つずつ縦に並べたうえ(3!=6通り)で、
あとはそれぞれの横に同じ文字を並べればいいので 6通りです。

(2)
縦に「一列に並ぶ」ケースも同数だけあるので 6+6=12通りです。

(3)
左斜めに並ぶか、右斜めに並ぶかで 2通り、
どの文字が並ぶかで 3通り、
残った2種類の文字の一方の3つを入れる場所を残り6マスから選ぶので 6C3通り、
2×3×6C3=120通り

(4)
斜めに一文字だけ並ぶケースは (3) と同じ 120通り

横の一番上の列に一文字だけ並ぶケースを考えます。
まず並ぶ文字を選ぶのに 3通り、
残った2種類の文字の一方の3つを入れる場所を残り6マスから選ぶので 6C3通り、
ただしこのとき残りの文字が横に一列に並ぶケースが2通りあるので、
3×6C3-2=58通り

これが横の二番目の列、横の三番目の列、縦の一番目の列・・・、
と同様に考えられるので 58×6+120 が答えになると思われます。

..11/12(Mon) 15:18[15633]
++ ゆい (高校1年)    
丁寧にありがとうございます!!分かりやすかったです!
..11/13(Tue) 06:57[15636]
■--ベクトル
++ レート           

A(6,-2,4)を通りベクトルd=(-1,2,1)に平行な直線Lに原点から垂線をひいたときの交点hの座標
お願いします
..11/11(Sun) 21:20[15628]

++ かーと    
こんばんは。

H は直線 (6,-2,4)+t(-1,2,1) 上にあるので、
(6,-2,4)+a(-1,2,1) → (-a+6,2a-2,a+4) と表します。

↑OH・↑d=0
(-a+6,2a-2,a+4)・(-1,2,1)=0

これを解いて a を求めれば、H の座標もわかります。

..11/11(Sun) 22:24[15629]
++ レート    
なるほど!
わかりました。ありがとうございます!

..11/11(Sun) 23:02[15630]
■--算数・数学質問掲示板のご利用について
++ かーと           

#新着情報
なし

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その他わからないことがあれば掲示板で質問してください(´∇`*

このスレッドは定期的に上げておきます。
..11/26(Fri) 05:41[1]

■--ペロン=フロベニウスの定理
++ 無題 (高専1〜3年)          

二次正方行列A=(a b)の成分がすべて正であるとする。(a,b,c,d>0)
(c d)
↑(すみません。これ行列です、、、)
このときAは(実数の)固有値を持つことを示せ
..11/10(Sat) 09:20[15623]

++ かーと    
こんにちは。

普通に方程式を立てて整理したうえで、
λ の2次方程式と見立てて判別式を考え、
それが正になることを示せばいいですね。

..11/10(Sat) 12:34[15625]
■--岐阜大学 行列
++ 数学苦手 (高専1〜3年)          

行列Aが固有値λを持つとする。
(1)E+Aは固有値1+λを持つことを示せ。(Aの固有ベクトルをb(ベクトル)として(E+A)b(ベクトル)を考えるのかな?


(2)
Aが正則でλ≠0のとき、Aの逆行列は固有値1/λを持つことを示せ。
..11/10(Sat) 09:15[15622]

++ かーと    
こんにちは。

(1)
A↑x=λ↑x
A↑x+↑x=λ↑x+↑x
(A+E)↑x=(λ+1)↑x

(2)
A↑x=λ↑x
(A^-1)A↑x=λ(A^-1)↑x
↑x=λ(A^-1)↑x
(1/λ)↑x=(A^-1)↑x

..11/10(Sat) 12:33[15624]
■--(無題)
++ ハラ           

こんにちは
2の0.2乗って根号に直したら5乗根2で合ってますよね?
単純な質問でごめんなさい😅
..11/ 9(Fri) 07:22[15620]

++ かーと    
こんにちは。

はい、それで合っていますよ。

..11/ 9(Fri) 11:07[15621]
■--GeoGebraの使い方
++ ぴな (高校3年/大学受験生)          

数学のグラフを書くアプリGeoGebraに詳しい方教えてください!!


このアプリで
幾何学的にサイクロイドのグラフを書く方法を教えてください!
..11/ 8(Thu) 18:24[15619]

■--(無題)
++ ハラ           

3点O(0,0),A(x1,y1),B(x2,y2) を頂点とする△OABがある。点Bと直線OAの距離をx1,y1,x2,y2を用いて表わせ。

この問題の答えが|y1x2-x1y2| / √y1^2+(-x1)^2 となり、この絶対値の中がx1y2-x2y1と入れ替わっていたのですが、勝手に入れ替えても大丈夫なのですか?なぜ入れ替えたのか教えてください。
..10/30(Tue) 17:06[15604]

++ かーと    
こんばんは。

絶対値というのは |a|=|-a|、
すなわち絶対値記号の中身の符号を入れ替えても変わらないので、
|x1y2-x2y1| と |-(x1y2-x2y1)| は同じです。

それは |5|=|-5| などを考えれば当然のことですよね。

..10/30(Tue) 21:28[15606]
++ ハラ    
ありがとうございます!
..11/ 2(Fri) 16:17[15615]
■--(無題)
++ こおり           

こんばんは。

2^100の最高位の数の1つ下の位の数を求めよ。
(桁数を求める過程は省略します。)
桁数は31、2^100=30.10

最高位の数をaとすると、
a×10^30≦2^100<(a+1)×10^30と表せる。
各辺の常用対数をとって、
30+loga≦0.10<log(a+1)
これを満たすようなaを求めるとa=1であるので、
最高位の数は1である。

このように最高位の数を求めました。
このような考え方のまま最高位の1つ下の位の数は求められますか?
解答は回りくどく書かれていて頭が混乱してしまいます。
ご教授のほどよろしくお願いします。
..10/30(Tue) 21:46[15608]

++ こおり    
常用対数はlogと表記させていただきました
..10/30(Tue) 21:46[15609]
++ かーと    
こんばんは。

log(2^100)=30.1
2^100=10^30.1
2^100=10^1.1 * 10^29

この 10^1.1 から最高位の2桁が求められます。

あとは log11〜log19 のどのあたりのところに
1.1 が入るのかというのを考えることになります。

log12=2log2+log3=1.0791
log12.8=7log2-1=1.1070

ここから最高位が 12 であることがわかります。

..10/30(Tue) 22:26[15611]
++ こおり    
上3行の計算は、常用対数の計算結果から最高位の数+少数部分と、それを除いた整数部分に分けたという解釈でよろしいでしょうか?
..10/30(Tue) 23:33[15612]
++ かーと    
こんばんは。

上2桁にあたる部分である 10^1.1 と、
残りの29桁にあたる部分 10^29 に分けた感じですかね。

もっとも残り29桁が 0 になるわけではないですし、
10^1.1 の整数部分が最終的に上2桁になるわけですが。

..10/31(Wed) 00:38[15613]
++ こおり    
ありがとうございます!

..10/31(Wed) 07:53[15614]
■--(無題)
++ 鼻時王子           

お世話になってます。
下の数列は奇数番目から右へ引き続いた3つの数を見るとある一定の数を順にかけた数になっていて、偶数番目から右へ引き続いた3つの数を見るとある一定の数を順に足した数になっています。20番目の数と21番目の数の和は□です。
1,2,4,6,9,12,16,・・・

問題の意味が分かりません・・・・・・・
..10/30(Tue) 21:01[15605]

++ かーと    
こんばんは。

1→2→4 で見ると、どちらも ×2倍
4→6→9 で見ると、どちらも ×(3/2)倍
9→12→16 で見ると、どちらも ×(4/3)倍

とすると、続きは ×(5/4)倍、×(6/5)倍・・・ となることが予想できます。

2→4→6 で見ると、どちらも +2、
6→9→12 で見ると、どちらも +3、
12→16→(書いてないけどおそらく20) で見ると、どちらも +4

とすると、続きは +5、+6 ・・・ となることが予想できます。

その法則にのっとって続けていくと次のようになります。

1,2,4,6,9,12,16,20,25,30,36,42,49,56,64,72,81,90,
100,110,121,132,・・・

..10/30(Tue) 21:33[15607]
++ 鼻時王子    
くそぉやられたぜ

..10/30(Tue) 21:59[15610]
■--(無題)
++ 夢人           

こんにちは。
P(x)=x^3-(k+4)x^2+(2x+3)x-k kは実数
P(x)=0におけるxの実数解を小さい順にα、β、γとする。
α^2+γ^2が最小となるkの値、また、その時のα、β、γの値を求めよ。

という問題の解き方がわかりません。。
とりあえず因数分解して(x-1)(x^2-(k+3)+k)という形にしてみたものの、(x^2-(k+3)+k)=0における実数解をどう扱えばいいのかわからず困っています。
解と係数の関係を使うのでしょうか…
助けてください!
..10/29(Mon) 11:53[15601]

++ かーと    
こんばんは。

y=x^2-(k+3)x+k の2次関数のグラフが
x=1 に関してどうなっているかを考えればいいです。

すると x=1 のとき、y=-2 と固定されていることがわかります。

ということは、y=x^2-(k+3)x+k とx軸の交点は
一方が x=1 より小さく、もう一方は x=1 より大きいので、
α:この2次関数の小さいほうの解
β=1
γ:この2次関数の大きいほうの解
ということがわかります。

このことがわかってしまえば、大して難しい問題ではないですよね。
あとは解と係数の関係を使えばすぐに解けますし。

..10/29(Mon) 22:32[15602]
++ 夢人    
ありがとうございます!
なるほど、グラフの位置関係を考えるんですね…

..10/29(Mon) 22:58[15603]
■--数学問題式と答え求む
++ ゆうくん           

A.B.Cの3人がP町から16キロ離れたS町に行くのに初めCはAをバイクに乗せて、Bは徒歩で同時にP町を出発し、それぞれ一定の速さでS町に向かいました。途中のQ町でCはAを降ろし、すぐ引き返しR町でBと出会うと同時にBを乗せてS町に向かったところ3人は同時にS町に到着しました。(乗り降りの時間などはカットします)バイクの速さが時速30km人の歩く速さが時速6kmの時、P町とQ町との距離をXキロメートル、Q町からR町までの距離をyキロメートルとして、xとyの値を求めなさい。
..10/28(Sun) 20:31[15599]

++ かーと    
こんばんは。

P→R:x-y , R→Q:y , Q→S:16-x なので、
A のかかった時間は x/30 + (16-x)/6
B のかかった時間は (x-y)/6 + (y+16-x)/30
C のかかった時間は (x+y+y+16-x)/30
となります。

この3つが等しいので、次の連立方程式ができます。
x/30 + (16-x)/6 = (x-y)/6 + (y+16-x)/30 = (x+y+y+16-x)/30

これを解くと x=12, y=8 が得られます。

..10/28(Sun) 23:21[15600]
■--高校数学
++ ぴな (高校3年/大学受験生)          

数学(作図・軌跡問題)が得意な方教えてください!!

1、点Aを通り、円Oに接する円Cを作図せよ。
(ただし点Aは円Oの外側にある)
2、円Cの半径の長さを変えた時、円Cの中心の軌跡がどうして双曲線になるのか証明せよ。

1はわかったのですが2がわかりません。

どのようにすれば双曲線の証明になるのでしょうか?
..10/27(Sat) 14:43[15597]

++ かーと    
こんばんは。

すでに他所さんで詳しい解説がいろいろついているようですね。

..10/27(Sat) 22:52[15598]
■--円
++ 夢人           

こんにちは。
x^2+(y-2)^2=25 ・・・@
@上の点DとE
D(0,7)
E(24/5,17/5)
弧DE上を動く点P(x,y)において、x+yの最大値と最小値を求めよ

という問題の、最大値が毎回やり直すと違う答えになって困っています。答えを教えてください。
..10/26(Fri) 19:15[15592]

++ かーと    
こんばんは。

x^2+(y-2)^2=25 と直線 x+y=k の関係を考えると、
両者が接するときに最大、(0,7) を通るときに最小となります。

(0,7) を通るとき、すなわち k=7 が最小、
両者が接するのは x^2 と (y-2)^2 が等しくなるとき、
すなわち x=(5√2)/2, y=2+(5√2)/2 のときなので、
最大値は k=5√2+2 となります。

..10/26(Fri) 21:18[15594]
++ 夢人    
ありがとうございました😊
単純な計算ミスが多くて不安だったので助かりました

..10/26(Fri) 22:03[15596]
■--三角関数の問題
++ レインボーフラワー (高校2年)          

三角関数y=2sin2θ−3(sinθ+cosθ)−2
π/2<θ<3π/2の時、yのとり得る値の範囲

sinθ+cosθ=t
とおいて求めたのですが、しっくりきません。
正しい答えを教えてください。
..10/26(Fri) 14:44[15589]

++ かーと    
こんにちは。

解法としてはそれで間違えていないと思いますよ。

sinθ+cosθ=t と置くと、
(sinθ+cosθ)^2=t^2
1+2sinθcosθ=t^2 より、
sin2θ=t^2-1 と表せます。

次に t の取る範囲は t=sinθ+cosθ=√2sin(θ+45°) なので、
π/2<θ<3π/2 を考慮すると t の範囲が求められます。

あとは t の2次関数の最大最小問題として考えるだけですね。

..10/26(Fri) 16:33[15590]
++ レインボーフラワー    
ありがとうございます!
計算してみたのですが、-1/2<y<3√2+7/2という微妙な値になってしまいました。
これはあっているのでしょうか。
間違えていたら最大最小の出し方も教えて頂けるとありがたいです(^^;

..10/26(Fri) 18:53[15591]
++ かーと    
こんばんは。

t の取る範囲は -√2<t<1 です。

y = 2(t-3/4)^2 -41/8 になるはずなので、
t=3/4 で最小、t=-√2 で最大を取るのではないですかね。

..10/26(Fri) 21:11[15593]
++ レインボーフラワー    
ありがとうございます。
平方完成を間違えていたようで解決しました。
ありがとうございました。

..10/26(Fri) 22:01[15595]
■--(無題)
++ n           

こんにちは
2問教えてください

@白の碁石2個、黒の碁石を3個横に並べる並べ方は何通りですか?

A4/33を小数で表したとき小数第19位の数は?

これを小学生にわかる方法で教えてください。
..10/24(Wed) 19:50[15587]

++ かーと    
こんばんは。

(1)
書きもらしのないように全部書いていくのが一番です。
「白をどこに置くか」に注目して書いていきましょう。

白白黒黒黒
白黒白黒黒
白黒黒白黒
白黒黒黒白
黒白白黒黒
黒白黒白黒
黒白黒黒白
黒黒白白黒
黒黒白黒白
黒黒黒白白

(2)
4÷33=0.1212・・・ なのは計算すればすぐにわかるので、
それをもとに考えれば小数第19位がいくらかもわかります。

..10/24(Wed) 21:28[15588]
■--(無題)
++ こおり           

こんばんは。

xy平面上を動く点Pの時刻tにおける座標が、x(t)=(e^t+e^-t)/2、y(t)=(e^t-e^-t)/2 (座標で表すと見にくくなったので分けています)
(T)時刻tにおける速度ベクトルv(t)と加速度ベクトルa(t)を求めよ
(U)時刻tにおける速度ベクトルv(t)と加速度ベクトルα(t)のなす角θ(t)とするとき、cosθ(t)を求めよ

(T)に関して
計算してみたところ、どちらも√{1/2(e^t+1/e^t)}になりました。
元の関数がeを含みxとyが対称的な式なのでありえない話ではないかなと思いつつも自信がありません。合っていますか?

(U)に関して
この分野に関してまだ理解が深まってなく、あやふやなのでよく分からないのです。vとαならまだしもtをどこに使えばよいのか分かりません。
ご教授お願いします。

..10/18(Thu) 18:40[15581]

++ かーと    
こんばんは。

>どちらも√{1/2(e^t+1/e^t)}になりました。

速度"ベクトル"、加速度"ベクトル"となっているのに、
答えがベクトルになっていないのはおかしいはずです。

x方向の単位ベクトルを ↑i、y方向の単位ベクトルを ↑j とし、
↑v(t)=x'(t)↑i+y'(t)↑j
↑a(t)=x''(t)↑i+y''(t)↑j
とすればいいのではないですかね。

↑v と ↑a をそれぞれベクトルとして表すことができたなら、
↑v・↑a=|↑v|・|↑a|cosθ
の関係から普通に cosθ(t) が求められると思います。

..10/18(Thu) 20:30[15582]
++ こおり    
「ベクトル」の意味が分かっていませんでしたがやっと分かりましたありがとうざいます。
..10/18(Thu) 20:46[15583]
++ こおり    
何度もすいません。
当初の答えからするに、どうやら大きさを求めていたようです。
問われているのが平面上の速度ベクトル、加速度ベクトルであるときは与えられた関数を微分して(x,y)の座標として表せばよい、という解釈でよいでしょうか?

..10/18(Thu) 21:13[15584]
++ かーと    
こんばんは。

「座標として考える」のではなく、
まず位置を「x方向成分と y方向成分」に分けて考え、
(要するに x(t) と y(t) のそれぞれで位置を考えるということ)、
それと同様に速度・加速度も x方向成分と y方向成分で
分けて考えるということですね。

位置がもともと x(t)↑i+y(t)↑j と表されていると考えれば、
上の説明も実はごくごく自然なことだとわかりますよね。

..10/18(Thu) 22:16[15585]
++ こおり    
よくわかりました!ありがとうざいます!
..10/18(Thu) 23:09[15586]

   


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