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■--本当に困っています
++ タコス (小学6年)          

図書館には料理に関する本の総数が200冊あるとする。
このうち肉を用いた本が117冊、魚を用いた本が96冊あったとする。
肉と魚の両方を用いた本が最大で何冊であったと考えられるか。
また、最小で何冊あったと考えられるかを求めなさい。
すいません(T ^ T)急いで出さなきゃいけないものなのですが頼れる人がいなくて…
わがままですが気づいた方すぐに返信お願いします。
..11/18(Sat) 21:28[15086]

++ かーと    
こんばんは。

最大は 96冊です。
魚を用いた本全部に肉を用いた料理も載っている場合です。

もし肉と魚を両方を用いた本が一冊もないとすると、
肉の117冊と魚の96冊で、これだけで最低でも合わせて 213 冊になります。

しかし、これだと本の総数が200冊になってくれません。

ということは、最低でも両方を用いた本は 13冊あります。

両方を用いた本=13冊、
肉だけを用いた本=117-13=104冊
魚だけを用いた本=96-13=83冊
これらで合わせて200冊になるというパターンです。

..11/18(Sat) 23:10[15087]
++ タコス (小学6年)    
本当にありがとうございました。助かりました。
説明も上手すぎるし…。すごいですね!( ^ω^ )
また何かあったら質問するかもしれませんがその時はよろしくお願いします。

..11/19(Sun) 21:12[15091]
■--高校1年 数A
++ pt (高校1年)          

AB,CDは1つの円の平行弦で、点Bにおける接線とCDの延長との交点をGとする。いま、弧CD 上に1点Pをとり、直線PA,PB,と弦CDとの交点をそれぞれE,F,とすれば,FE×FG=FD×FCであることを示せ。

どう証明すればいいですか?
..11/19(Sun) 16:43[15090]

■--数A
++ りでぃあ (高校1年)          

A.B 2人があるゲームをする。1回のゲームでAが勝つ確率1/3でも引き分けはないものとする。先に4勝した方が優勝となるとき次の確率を求めよ。
1) 4勝3敗でAが優勝する確率
2) Aが優勝する確率

という問題がわからないです
解き方を教えてください!お願いします

..11/19(Sun) 11:12[15088]

++ かーと    
こんにちは。

(1)
(6試合で3勝3敗になる確率)×(7試合目に A が勝つ確率) で計算できます。

6C3×(1/3)^3×(2/3)^2×(1/3) となります。

(2)
4連勝する確率 (1/3)^4

4勝1敗になる確率=(4試合で3勝1敗になる確率)×(5試合目に A が勝つ確率)
= 4C3×(1/3)^3×(2/3)^1×(1/3)

4勝2敗になる確率=(5試合で3勝2敗になる確率)×(6試合目に A が勝つ確率)
= 5C3×(1/3)^3×(2/3)^2×(1/3)

4勝3敗になる確率 → (1) の答え

この 4つの確率を全て加えればいいでしょう。

..11/19(Sun) 14:54[15089]
■--子供の数学レポート
++ さんきち(中2の父)           

私には歯がたちません・・・
(1)直角二等辺三角形ABCの直角の頂点Aを通る直線lに、頂点BCからそれぞれ垂線BD, CEをひく。このとき直線lが連続的に回転移動することにより、3つの線分BD, CE, DEの間に成り立つ関係式がどのように変化するかをまとめなさい。
また、これらの関係式が、常に『BD+CE=DE』とみることができるように「関係式の見方(図形の捉え方)の定義」を自分でつくりなさい。
(2)事象を場合分けする場合において、どうような手順で考えれば「漏れなく」場合分けできるか述べなさい。また、図形の変化に伴う関係式を考察する上で、どのような点に留意して比較したら良いか述べなさい
..11/12(Sun) 19:40[15085]

■--子供の宿題
++ 算数父 (小学4年)          


外国語で出題された問題なので、問題文が不明瞭でしたらすみません。
子供が先生から力試しとして次のような問題を与えられました。

ある浴槽を8.5時間で満たすことができる水道栓Aと、おなじ浴槽を5⅓時間で満たすことができる水道栓Bがあります。さらにおなじ浴槽にいっぱいに満たされた水すべてを6時間で空にできる排水口Cがあります。

すべてが同時に働いた場合、一時間後に浴槽にはどれだけの水がはいっているでしょうか。

答えは113/816(816分の113)になるそうですが、どのような式になるのかお教えいただけませんでしょうか。

よろしくお願いいたします。
..11/11(Sat) 06:49[15082]

++ かーと    
こんばんは。

浴槽の容量の全体量を 1 とします。

A が1時間で入れる水の量は 1÷8.5=2/17
B が1時間で入れる水の量は 1÷16/3=3/16
C が1時間で抜く水の量は 1÷6=1/6

したがって、全部動かしたときに1時間で入る水の量は
2/17 + 3/16 - 1/6
= 2/17 + 9/48 - 8/48
= 2/17 + 1/48
= 96/816 + 17/816
= 113/816
となります。

..11/11(Sat) 18:41[15083]
++ 算数父 (小学4年)    
かーと様

ありがとうございます!!!!
とてもわかりやすいです。本当に助かりました。

早速子供に説明してみます!

..11/11(Sat) 19:12[15084]
■--図形の証明
++ 真矢 (高校2年)          

自分の解答のどこがなぜいけないのかがわからないので、教えてください。よろしくお願いします。

平面上の鋭角三角形の内部(辺や頂点は含まない)に点Pをとり、A'をB,C,Pを通る円の中心、B'をC,A,Pを通る円の中心、C'をA,B,Pを通る円の中心とする。このときA,B,C,A',B',C'が同一円周上にあるための必要十分条件はPがの内心に一致することであることを示せ。

解答
必要性の証明で、僊'BCにおいて、BとCはA'を中心とする円周上の点なのでA'B=A'Cより、∠A'BC=∠A'CB。4点A、B、C、A'が同一円周上にあると仮定すると弧A'Cに対する円周角から∠A'BC=A'AC。弧A'Bに対する円周角から∠A'CB=∠A'AB。以上より、∠A'AB=∠A'AC。よってAA'は∠BACの二等分線。同様によりBB'は∠ABCの二等分線。よってPは内心である。

どこがいけないのでしょうか。
..10/23(Mon) 22:14[15038]

++ かーと    
こんばんは。

P の話が最後に唐突に出てきているだけで、
これでは「AA' と BB' と CC' を結んだときの交点が、
△ABC の内心にもなっています」ということを示しただけで、
それが P と全く繋がっていないですからね。

..10/24(Tue) 00:58[15039]
++ 真矢 (高校2年)    
御回答ありがとうございます。

なるほど、そういうことでしたか。

ではどのように修正すればいよいでしょうか。

..10/24(Tue) 21:07[15042]
++ 真矢 (高校2年)    
その後自分でもう一度考えて下記のような解答をつくってみたのですが、これでしたらいかがでしょうか。

∠A'BC=∠A'CBより、∠BA'C=180°-2∠A'BC。よって長い方の弧BCに対する中心角∠BA'C=180°+∠2A'BC、よって弧BCの円周角として、∠BPC=90°+∠A'BC。次に僊BCの内心をIとします。∠A'BC=∠A'ACより、∠BIC=90°+∠A'AC=90°+∠A'BCゆえに∠BPC=∠BICなのでPとIは一致する。よってPは内心である。

弧の解答はまだまずいでしょうか。よろしくお願いします。

..11/ 5(Sun) 20:49[15081]
■--(無題)
++ アシカ           

ln(2k+3) = 2ln(k)+ln(5)

答えは-3/5, 1だと思いますが回答には 1 しか載っていません。
どちらが正しいですか?
-3/5 を元の式に入れてもln(-)にはならないのでこれも答えになると思うのですが。
..11/ 3(Fri) 12:24[15069]

++ かーと    
こんにちは。

右辺の ln(k) のところの真数が負になるのでダメですね。

..11/ 3(Fri) 13:39[15070]
++ アシカ    

右辺の ln(k) は 2ln(k) なので ln(k) ^2となって
(-3/5) を代入すると
ln(-3/5) ^2=ln(9/25)と正になると考えるのですが。
なので二乗がついていればいいのではないでしょうか?
これがどうして間違っているのかご説明頂けますか?

..11/ 4(Sat) 08:59[15078]
++ かーと    
こんにちは。

2ln(k)=ln(k^2) のように式変形によって、
真数条件がゆるくなるということがあります。

しかし、元の式が ln(k^2) ではなく 2ln(k) である以上、
最初の式である 2ln(k) の真数条件に従う必要があります。

変形後のゆるくなった真数条件だけ見ていてはいけません。

..11/ 4(Sat) 15:10[15079]
++ アシカ    
わかりました、勉強になりました。
有難うございました!!!

..11/ 5(Sun) 02:51[15080]
■--(無題)
++ あり。           

高次方程式の問題です。
xの整式P(x)=x^3+px^2+qx-(p+q+1)があり、P(x)をx-2で割ると余りがp+5である。ただし、p,qは実数である。
(1)qをpを用いて表せ。
(2)方程式P(x)=0が実数解をもつとき、pのとりうる値の範囲を求めよ。
(3)(2)のとき、方程式P(x)=0の異なる2つの虚数解をα,β、実数解をγとする。8/αβγ+2(α+β+γ)の最小値とその値を求めよ。

この単元は一番苦手で何度といてもなかなか答えに行き着けません。(1)は問題ないのですが、(2)が少し怪しいです。(3)に至っては太刀打ちできません。
特に(3)について詳しく解説お願いします…!
..11/ 3(Fri) 18:46[15071]

++ かーと    
こんばんは。

>(2)方程式P(x)=0が実数解をもつとき

3次方程式は必ず1つは実数解を持つので、
この部分は条件になってないように思うのですよね。

「虚数解をもつとき」の書き間違いか何かですかね。

..11/ 3(Fri) 20:48[15072]
++ あり。    
あ、ほんとですね…
虚数解になってます…すいません…

..11/ 3(Fri) 20:59[15073]
++ かーと    
こんばんは。

q=-2p-2 を P(x) に代入すると、P(1)=0 になるので、
P(x) は x-1 でくくることができますね。

また、実数解が x=1 であることも決まります。

あとは P(x)=(x-1)Q(x) の形にした後の 2次式 Q(x) について
吟味すればいいだけなので、それほど難しくはないですね。

..11/ 3(Fri) 21:35[15074]
++ あり。    
P(x)=(xー1)Q(x)にしたあとは、判別式を使って虚数解となるようにDく0となるように式を立て範囲を求めました。
-5<p<-1とでました。解き方はあってるでしょうか?
それと(3)の解き方のヒントを頂けないでしょうか

..11/ 3(Fri) 22:34[15075]
++ かーと    
こんばんは。

(2) は合っています。

(3) は γ=1 はすでにわかっているので、
Q(x) に解と係数の関係を利用することで
α+β と αβ をそれぞれ p で表します。

すると -8/(p+1) - 2p となるはずですが、
-8/(p+1) -2(p+1) +2 のように考えたうえで、
-8/(p+1) -2(p+1) に相加相乗平均の考えを使うと、
この部分の最小値が 8 になることがわかります。

したがって、全体としては 10 が最小値となります。

..11/ 3(Fri) 23:41[15076]
++ あり。    
なるほど…!
相加・相乗平均を用いるのですね!
分かりやすい説明ありがとうございます!

..11/ 3(Fri) 23:50[15077]
■--行列
++ 田中           

行列A= 3 2 と B= 1 0 について、A⁻¹Bを計算せよ
     2 1     -3 -4 
行列について分かる方教えてください。
..11/ 3(Fri) 11:25[15068]

■--置換
++ 田中           

置換σ= 1 2 3 4 と γ= 1 2 3 4 についてγσσを求めよ。
     1 3 4 2      3 2 4 1 
置換について分かる方教えてください。
..11/ 3(Fri) 11:25[15067]

■--最大公約数
++ 田中           

589と323の最大公約数を求めよ。
最大公約数について分かる方教えてください。
..11/ 3(Fri) 11:24[15066]

■--1次合同式
++ 田中           

1次合同式 158x≡1(mod223)を解け。
1次合同式について分かる方教えてください。
..11/ 3(Fri) 11:24[15065]

■--2階導関数・第2次導関数
++ 田中           

f(x)=³√xとおく。k=1,2,3,4に対し、f(x)の第k階導関数f⁽k⁾(x)をそれぞれ求めよ。
2階導関数・第2次導関数が分かる方教えてください。
..10/31(Tue) 18:12[15048]

++ かーと    
こんばんは。

f'(x) をもう一度 x で微分したものが f''(x) です。
3階導関数以降も同様です。

f(x)=x^(1/3)
f'(x)=(1/3)x^(-2/3)
f''(x)=(-2/9)x^(-5/3)
f'''(x)=(10/27)x^(-8/3)
f''''(x)=(-80/81)x^(-11/3)

係数の分母は 3^k です。
係数の分子は (-1)^(k-1)*2*5*・・・*(3k-4) です。
x の指数は (-3k+1)/3 です。

..10/31(Tue) 21:35[15049]
++ 田中    
かーとさん

ご解答ありがとうございました。

解説が丁寧で分かりやすいですね。

また、是非お願いします!

..11/ 3(Fri) 06:04[15064]
■--命題と証明
++ タカシ (高校1年)          

x≠1かつx≠2 ⇒ x≠2 は 「真」 がいまいち理解できません。
xは2ではないから、2ではない、ということで強引に納得させましたが2ではないけど、1かもしれない、から偽ではないのでしょうか?集合の包含で考えても、飛び出るような気がします。
もやもやします。どなたか、御教授よろしくお願い致します。
..11/ 1(Wed) 21:11[15060]

++ かーと    
こんばんは。

もしこの命題が偽になるとすれば、
それは「x が 2 になる可能性がある」場合です。

それを問えば真であることは言うまでもないでしょう。

もしそれでも偽だと疑うのであれば、
「x は 2 でないと明言されてるのだから 2 ではない。
でも 1 で"も"ないと書かれてるから、
2 になる可能性が出てくるかもしれない」
という疑問が正しいかどうか考えてみればいいです。

どうあがいても x が 2 になる可能性なんて出てきません。

..11/ 2(Thu) 01:02[15062]
++ たかし (高校1年)    
なるほど、すっきりしました。
仮にx≠1かつx≠2かつx≠3…と大量に続こうとも、
単に、x≠2 なのだから x≠2 と言っているに過ぎない、ということですね。
p:x≠1かつx≠2の集合が q:x≠2の集合より大きそうな感じがして p⊂q にはならないでは?と思い、質問してしまいました。

ありがとうございます。わからないことがありましたら、また教えてください。よろしくお願いします。

..11/ 2(Thu) 19:20[15063]
■--算数・数学質問掲示板のご利用について
++ かーと           

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なし

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このスレッドは定期的に上げておきます。
..11/26(Fri) 05:41[1]

■--場合の数
++ しらさき (高校1年)          

とある問題集の解答に解せない部分があるので、説明をお願いしたく・・・。
「こういうものだから」という問題集の解説だと、納得がいかないので、どなたか優しい解説をお願いいたします。

――
Q.ここに赤玉と白玉の種類の玉がN個あります。赤玉はr個あります。
[N個並べる時にr個の赤玉を並べる全ての並べ方の数を求めなさい。]

A. N! / r! (N-r)!
――

私の疑問(計3つ)

1,r! (N-r)!で表しているのは、r個の赤玉をr個の場所に置く置き方と、N-r個の白玉をN-r個の場所に置く置き方を掛け合わせたものだと理解しています。
そして、この掛け合わせたものを”N個玉を並べる時にr個の赤玉を並べる全ての並べ方”と問題集は言っています。

なぜそれぞれ独立した赤玉の並べ方と白玉の並べ方を掛け合わせると、"N個玉を並べる時にr個の赤玉を並べる全ての並べ方"になるのでしょうか?
もし”N個玉を並べる時にr個の赤玉を並べる全ての並べ方”を考えるのであれば、NCr となるのが普通では無いでしょうか?(N個の場所にr個の赤玉を置く組み合わせになると考えるからです。)


2.”N個玉を並べる時にr個の赤玉を並べる全ての並べ方”と[N個並べる時にr個の赤玉を並べる全ての並べ方の数]の意味の違いは?



3.なぜ [N個並べる時にr個の赤玉を並べる全ての並べ方の数]を算出する時、N個の全ての並び方から、上記1の”N個玉を並べた時にr個の赤玉を並べる全ての並べ方で”割り込むのでしょうか?
..11/ 1(Wed) 14:37[15053]

++ かーと    
こんにちは。

N個の箱の中から r個を選んで赤玉を入れてしまえば(NCr通り)、
白玉は自動的に残りの箱ということに決まるので 1通りです。

したがって NCr×1 となりますが、この ×1 は自明なので、
わざわざ白玉についてまでは考えなくてもかまいません。

式を見て無駄なことばかり考えてしまってるようですが、
単にこの問題は NCr と単純に答えを出してるだけです。
(NCr=N!/r!(N-r)! だからわざわざそう書いてるだけで)

複雑な計算もなければ複雑な考え方もしていないので、
まずこの問題の答えが単純に NCr だと理解できるかどうかです。

..11/ 1(Wed) 16:03[15055]
++ しらさき    
なるほど。考えすぎて変なとこに入ってしまったみたいですね。アドバイスいただきありがとうございました。
..11/ 1(Wed) 21:13[15061]
■--(無題)
++ msports           

0≦x<2πの範囲で

2sin(2x+π/6)=sinx

を満たす大きい方から2番目のxの値を求めよ。

という問題が解けません。どなたか解説よろしくお願いいたします。
..11/ 1(Wed) 15:20[15054]

++ かーと    
こんにちは。

グラフを書いてみましょう。
すると大きいほうから2番目の x だけはきれいな値になることに気付きます。

..11/ 1(Wed) 16:11[15056]
++ msports    
アドバイス、ありがとうございます!

グラフをかいてみて、x=3/2πであるのは分かりましたが、計算では求められないのでしょうか?

よろしくお願いいたします。

..11/ 1(Wed) 16:30[15057]
++ かーと    
こんにちは。

あとは実際に代入して等しいことを確かめればいいです。
グラフ+代入での確認でそれが2番目に大きい解であることの導出としては十分です。

全部の解を計算で求めるのはおそらく難しいと思います。
片方にだけ 2 がついてるので和積の公式なども使えないですしね。

加法定理で展開しても中途半端に cos が残ったりしますし。

..11/ 1(Wed) 16:47[15058]
++ msports    
ありがとうございます。

計算で求められず、モヤモヤしていたのが、すっきりしました。

またよろしくお願いいたします。

..11/ 1(Wed) 17:11[15059]
■--(無題)
++ ユニ           

y=−2x^2−x−1(−1<x≦2)
この問題の最大値と最小値の求め方の解説お願いします。
..11/ 1(Wed) 06:50[15051]

++ かーと    
こんにちは。

y = -2x^2-x-1
= -2(x^2 + x/2) -1
= -2(x^2 + x/2 + 1/16 - 1/16) -1
= -2(x^2 + x/2 + 1/16) +1/8 -1
= -2(x + 1/4)^2 -7/8

頂点が定義域に含まれるので x=-1/4 で最大値を取ります。
最小値は定義域の中で頂点から最も遠い x=2 のときです。

..11/ 1(Wed) 14:15[15052]
■--微分
++ 白兎           

次の関数の極値、変曲点を調べてグラフの概形を描きなさい。

y=x^2・log(x) (x>0)


よろしくお願いします。
..10/31(Tue) 18:12[15047]

++ かーと    
こんばんは。

y' = 2xlogx + x
= x(2logx+1)

x=0, e^(-1/2) のときに y'=0

y'' = (2logx+1) + x・(2/x)
= 2logx+3

x=e^(-3/2) のときに y''=0

あとは増減表を書けばすぐにグラフは書けます。

..10/31(Tue) 21:40[15050]
■--渋滞学とソリトン理論
++ タマミ (高校3年/大学受験生)          

こんにちは
今高校3年生で数学のリポートを渋滞の原因とその改善法について微分を使って書こうと思っているのですが、それを調べてみた時に度々出てくるソリトンの方程式が理解できません。噛み砕いて説明してくれる方、至急よろしくお願いします。また他にアプローチの仕方があれば教えてください。
..10/31(Tue) 09:59[15046]


   


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